在某星系观测计划中，天文台记录了 个恒星碎片在二维平面中的初始位置，其中第 个碎片的位置为 。
受到中心引力源的影响，这些碎片会绕星系中心 以相同的角速度进行匀速旋转，且任意时刻所有点相对于原点的旋转角度相同。
天文台使用一个观测框对这些碎片进行持续观测，该观测框满足如下条件：
- 观测框为一个各边平行于坐标轴的矩形；
- 观测框必须完全覆盖所有碎片的位置；
- 观测框不必覆盖星系中心 ；
- 在所有满足覆盖条件的观测框中，选取周长最小的那个。
随着时间的推移，碎片不断旋转，观测框的大小也随之变化，观测系统在该时刻的能量消耗速率与观测框的周长成正比。
为了合理估计观测系统的能量消耗，你打算通过观测框周长对能量消耗进行估计。随着观测时间的增加，观测框周长的平均值会趋于某个值，你的任务是计算这个值。
形式化地说：
设在某一时刻碎片系统绕 点的旋转角度为 ，第 个碎片的位置为 ，定义此时观测框的周长为：
你的任务是计算下面的值：
